자연수 합의 마지막 항

어떤 자연수 \(X\)가 주어졌을 때 이 \(X\)보다 작거나 같고 가장 큰 마지막 자연수의 수열의 원소를 유도해보자.

먼저 1이상의 자연수 \(n\)까지의 자연수의 합 \(S_n\)은 쉽게 구할 수 있다.

$$S_n={{n(n+1)} \over {2}}$$

 

여기서 \(X\)보다 작은 최대 합은 다음을 만족한다.

$$S_n = {{n(n+1)} \over {2}} \leq X$$

먼저 최대 합이 \(X\)와 같을 때의 \(n\)을 구한다고 생각하면 부등식이 등식이 된다.

$${{n(n+1)} \over {2}} = X$$

위 식을 \(n\)에 대한 식으로 정리할 수 있다.

$$n^2 + n = 2X$$

$$n^2+n+{1 \over 4} = 2X+{1 \over 4}$$

$$4n^2+4n+1=8X+1$$

$$(2n+1)^2=8X+1$$

$$2n+1=\sqrt{8X+1} \ (\because n \geq 1)$$

$$2n=\sqrt{8X+1} -1$$

$$n={{\sqrt{8X+1} -1} \over 2}$$

 

이때 \(n\)은 항상 최대 합을 만족하지 않고, 자연수이므로 최대 합의 마지막 원소 \(n(=a_n)\)은 다음과 같다.

$$n=\left \lfloor {{\sqrt{8X+1} -1} \over 2} \right \rfloor$$